Расчет площади четырехугольника с разными сторонами

Содержание
  1. Как посчитать площадь если все стороны разные – Калькулятор расчета площади земельного участка неправильной формы: четырехугольник
  2. Онлайн калькулятор: Площадь многоугольника
  3. Стороны и диагонали
  4. Импортировать данныеОшибка импорта
  5. Площадь прямоугольника. Онлайн-калькулятор
  6. Как найти площадь прямоугольника?
  7. 2) через диагонали и угол
  8. Площадь четырехугольника
  9. Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами
  10. Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты
  11. Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними
  12. Определения
  13. Площадь треугольника. Онлайн-калькулятор
  14. Как найти площадь треугольника?
  15. 1) через основание и высоту
  16. Формулы площадей всех основных фигур
  17. Площадь прямоугольника
  18. Площадь прямоугольника через две стороны
  19. Площадь прямоугольника через периметр и одну из сторон
  20. Площадь прямоугольника по диагонали и стороне
  21. Площадь прямоугольника по диагоналям и углу между ними
  22. Площадь прямоугольника через сторону и радиус описанной окружности
  23. Площади четырехугольников
  24. Формулы для площадей четырехугольников
  25. Вывод формул для площадей четырехугольников
  26. Площадь четырехугольника
  27. Площадь четырехугольника по сторонам
  28. Площадь четырехугольника, заданного координатами
  29. Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы
  30. Page 3
  31. Page 4
  32. Page 5
  33. Page 6
  34. Page 7
  35. Как найти площадь четырехугольника
  36. Многоугольник произвольный
  37. Многоугольник в окружности
  38. 2 Как найти площадь четырехугольника – трапеции
  39. 3 Как найти площадь четырехугольника – дельтоида
  40. 4 Как найти площадь четырехугольника – параллелограмма
  41. Общее выражение
  42. Ромб
  43. Прямоугольник
  44. Квадрат

Как посчитать площадь если все стороны разные – Калькулятор расчета площади земельного участка неправильной формы: четырехугольник

Расчет площади четырехугольника с разными сторонами

Вариант 1

Примите к сведению, калькулятор Вариант 1 считает площадь участка, который вписывается углами в окружность.

Проверить подходит ли Ваш участок под это условие можно, учитывая, что противоположные углы вписанного четырехугольника  в сумме дают 180°.

Если Ваш участок не вписывается в окружность, то калькулятор будет выдавать небольшую погрешность (величина который будет зависеть от того, насколько сильно Ваш участок не вписывается в окружность).

Вариант 2

Вариант 3

Впишите размеры сторон AB, BC, CD, DA в метрах.

Замеры участка проводят, с помощью длинной рулетки, лазерного дальномера, мерного колеса. Также можно изготовить деревянную треногу (наподобие циркуля) зафиксировав расстоянием между «ногами» в 1 м и, шагая таким приспособлением вдоль границы делянки подсчитать количество шагов.

Нажмите «Рассчитать».

Онлайн калькулятор позволяет определить площадь (в квадратных метрах, сотках, акрах и гектарах) земельного участка или поля, имеющего неправильную форму.

Это пригодится для корректного оформления документов права собственности на землю, продажи, сдачи в аренду или его деления (т.н. межевания) без применения топографической съемки и специальных картографических программ.

Также иногда просто нужно посчитать сколько соток имеет участок, чтобы прикинуть его рыночную стоимость.

perpendicular.pro

Онлайн калькулятор: Площадь многоугольника

Пример многоугольника

Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.

Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE. Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.

А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.

Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры. Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников. В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали).

По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу».

Стороны и диагонали

Размер страницы: chevron_leftchevron_right

Импортировать данныеОшибка импорта

Для разделения полей можно использовать один из этих символов: Tab, “;” или “,” Пример: ? EFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ ?;50.5

ИмпортироватьНазадОтменитьТочность вычисления

Знаков после запятой: 2

save Сохранить share extension Виджет

planetcalc.ru

Площадь прямоугольника. Онлайн-калькулятор

Онлайн-калькулятор площади прямоугольника поможет вам точно и быстро рассчитать или проверить расчеты по нахождению площади любого прямоугольника.

Обычно площадь прямоугольника можно рассчитать двумя способами: через две стороны прямоугольника или через его диагонали. При первом способе расчета введите значения длин сторон a и b.

При втором – длину диагоналей и значение угла между ними в градусах или радианах. Помимо ответа калькулятор покажет решение.

Способ расчета площади прямоугольника:

по двум сторонамчерез диагонали

Рассчитать

Прямоугольник – это геометрическая фигура, представляющая собой четырехугольник, у которого все углы прямые (90° ). Диагонали прямоугольника равны между собой.

Как найти площадь прямоугольника?

Существует несколько способов найти площадь прямоугольника. Самый простой способ, если известны стороны прямоугольника, то достаточно их перемножить. Если стороны не известны, а имеется величины диагоналей прямоугольника и угла между ними, то нужно воспользоваться формулой, приведенной ниже:

2) через диагонали и угол

d – диагонали,
α – угол между диагоналями.

calc.by

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн.

Площадь четырехугольника – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

1

d1 – диагональ

d2 – диагональ

α° – угол между диагоналями

… подготовка …

2

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

a – сторона

b – сторона

c – сторона

d – сторона

α° – угол между сторонами

β° – угол между сторонами

… подготовка …

3

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

a – сторона

b – сторона

c – сторона

d – сторона

… подготовка …

4

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

a – сторона

b – сторона

c – сторона

d – сторона

r – радиус вписанной окружности

… подготовка …

5

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

a – сторона

b – сторона

c – сторона

d – сторона

α° – угол между сторонами

β° – угол между сторонами

… подготовка …

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться нашим «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

doza.pro

Площадь треугольника. Онлайн-калькулятор

Онлайн-калькулятор для расчета площади треугольника поможет Вам найти площадь треугольника несколькими способами в зависимости от известных данных. Наш калькулятор не просто рассчитает площадь треугольника, но и покажет подробное решение, которое будет показано под калькулятором.

Поэтому данный калькулятор удобно использовать не только для быстрых расчетов, но и для проверки своих вычислений.

С помощью данного калькулятора вы сможете найти площадь треугольника по следующим формулам: через основание и высоту, через две стороны и угол, по трем сторонам (формула Герона), через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности.

Выберите способ расчета площади:

через основание и высотучерез две стороны и уголпо трем сторонам (формула Герона)через радиус вписанной окружностичерез радиус описанной окружности

Рассчитать

Треугольник – это геометрическая фигура, которая образована тремя отрезками. Эти отрезки называются сторонами треугольниками, а точки соединения отрезков – вершинами треугольника.

В зависимости от соотношения сторон треугольники бывают нескольких видов: равнобедренный треугольник (две стороный треугольника равны между собой, эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника), равносторонний треугольник (у треугольника все три стороны равны), прямоугольный треугольник (один угол треугольника прямой).

Как найти площадь треугольника?

Найти площадь треугольника очень просто, достаточно воспользоваться нашим калькулятором или рассчитать самостоятельно, воспользовавшись формулой площади треугольника. В зависимости от того, какие данные известны, для расчета площади треугольника использует несколько способов:

1) через основание и высоту

a – основание треугольника, h – высота треугольника. a, b – стороны треугольника, α – угол между сторонами. a, b, с – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.

a, b, с – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности. a, b, с – стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности.

Вы всегда сможете проверить правильность расчета площади треугольника с помощью нашего калькулятора.

calc.by

Формулы площадей всех основных фигур

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

b – верхнее основание

a – нижнее основание

c – равные боковые стороны

α – угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

R – радиус вписанной окружности

D – диаметр вписанной окружности

O – центр вписанной окружности

H – высота трапеции

α, β – углы трапеции

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d – диагональ трапеции

α, β – углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

m – средняя линия трапеции

c – боковая сторона

α, β – углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

b – верхнее основание

a – нижнее основание

h – высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

www-formula.ru

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками, угол между которыми равен 90 градусов и параллельные отрезки при этом равны.

Наш калькулятор поможет вам бесплатно в режиме онлайн вычислить площадь прямоугольника с помощью различных формул или проверить уже выполненные вычисления.

1

Площадь прямоугольника через две стороны

a – сторона

b – сторона

… подготовка …

2

Площадь прямоугольника через периметр и одну из сторон

a (или b) – сторона

P – периметр

… подготовка …

3

Площадь прямоугольника по диагонали и стороне

a (или b) – сторона

d – диагональ

… подготовка …

4

Площадь прямоугольника по диагоналям и углу между ними

d – диагональ

α° – угол между диагоналями

… подготовка …

5

Площадь прямоугольника через сторону и радиус описанной окружности

a (или b) – сторона

R – радиус описанной окружности

… подготовка …

6

a (или b) – сторона

D – диаметр описанной окружности

… подготовка …

Площади четырехугольников

Расчет площади четырехугольника с разными сторонами

Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия)Четырехугольники

      В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

S = ab,

которая позволяет найти площадь прямоугольникапрямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникS = aba и b – смежные стороны
Посмотреть вывод формулыd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между диагоналями
S = 2R2 sin φПолучается из верхней формулы подстановкой d=2RR – радиус описанной окружности,φ – любой из четырёх углов между диагоналями
ПараллелограммS = a haПосмотреть вывод формулыa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторону
S = absin φПосмотреть вывод формулыa и b – смежные стороны,φ – угол между ними
Посмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между ними
КвадратS = a2a – сторона квадрата
S = 4r2r – радиус вписанной окружности
Посмотреть вывод формулыd – диагональ квадрата
S = 2R2Получается из верхней формулы подстановкой d = 2RR – радиус описанной окружности
РомбS = a haПосмотреть вывод формулыa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторону
S = a2 sin φПосмотреть вывод формулыa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромба
Посмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали
S = 2arПосмотреть вывод формулыa – сторона,r – радиус вписанной окружности
Посмотреть вывод формулыr – радиус вписанной окружности,φ – любой из четырёх углов ромба
ТрапецияПосмотреть вывод формулыa и b – основания,h – высота
S = m hm – средняя линия,h – высота
Посмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между ними
Посмотреть вывод формулыa и b – основания,c и d  – боковые стороны
ДельтоидS = ab sin φa и b – неравные стороны,φ – угол между ними
a и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
S = (a + b) rПосмотреть вывод формулыa и b – неравные стороны,r – радиус вписанной окружности
Посмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали
Произвольный выпуклый четырёхугольникПосмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между ними
Вписанный четырёхугольник,Посмотреть вывод формулы Брахмагуптыa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – полупериметр,Формулу называют «Формула Брахмагупты»
Прямоугольник
S = abгдеa и b – смежные стороны
гдеd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между диагоналямиПосмотреть вывод формулы
S = 2R2 sin φгдеR – радиус описанной окружности,φ – любой из четырёх углов между диагоналямиФормула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Параллелограмм
S = a haгдеa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
S = absin φгдеa и b – смежные стороны,φ – угол между нимиПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
Квадрат
S = a2гдеa – сторона квадрата
S = 4r2гдеr – радиус вписанной окружности
гдеd – диагональ квадратаПосмотреть вывод формулы
S = 2R2гдеR – радиус описанной окружностиПолучается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Ромб
S = a haгдеa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
S = a2 sin φгдеa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромбаПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагоналиПосмотреть вывод формулы
S = 2arгдеa – сторона,r – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеr – радиус вписанной окружности,φ – любой из четырёх углов ромбаПосмотреть вывод формулы
Трапеция
гдеa и b – основания,h – высотаПосмотреть вывод формулы
S = m hгдеm – средняя линия,h – высота
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
гдеa и b – основания,c и d  – боковые стороныПосмотреть вывод формулы
Дельтоид
S = ab sin φгдеa и b – неравные стороны,φ – угол между ними
гдеa и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
S = (a + b) rгдеa и b – неравные стороны,r – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагоналиПосмотреть вывод формулы
Произвольный выпуклый четырёхугольник
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
Вписанный четырёхугольник
,гдеa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – полупериметрФормулу называют «Формула Брахмагупты»Посмотреть вывод формулы Брахмагупты
Прямоугольник
S = abгдеa и b – смежные стороны
гдеd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между диагоналямиПосмотреть вывод формулы
S = 2R2 sin φгдеR – радиус описанной окружности,φ – любой из четырёх углов между диагоналямиФормула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Параллелограмм
S = a haгдеa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
S = absin φгдеa и b – смежные стороны,φ – угол между нимиПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
Квадрат
S = a2гдеa – сторона квадрата
S = 4r2гдеr – радиус вписанной окружности
гдеd – диагональ квадратаПосмотреть вывод формулы
S = 2R2гдеR – радиус описанной окружностиПолучается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Ромб
S = a haгдеa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
S = a2 sin φгдеa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромбаПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагоналиПосмотреть вывод формулы
S = 2arгдеa – сторона,r – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеr – радиус вписанной окружности,φ – любой из четырёх углов ромбаПосмотреть вывод формулы
Трапеция
гдеa и b – основания,h – высотаПосмотреть вывод формулы
S = m hгдеm – средняя линия,h – высота
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
гдеa и b – основания,c и d  – боковые стороны,Посмотреть вывод формулы
Дельтоид
S = ab sin φгдеa и b – неравные стороны,φ – угол между ними
гдеa и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
S = (a + b) rгдеa и b – неравные стороны,r – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагоналиПосмотреть вывод формулы
Произвольный выпуклый четырёхугольник
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
Вписанный четырёхугольник
гдеa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – полупериметрФормулу называют «Формула Брахмагупты»Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Вывод формул для площадей четырехугольников

      Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где  d1 и d2 – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

      Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле

S = a ha ,

где a – сторона параллелограмма, а ha – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Рис. 2

      Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AE – прямоугольник. Поэтому

SABCD = SAEFD = a ha ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Рис. 3

      Доказательство. Поскольку

ha = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a ha = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Рис. 4

      Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h  – высотавысотавысота (рис.5).

Рис. 5

      Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,

(рис.6).

Рис. 6

      Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

      Следовательно,

где

,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Рис. 7

      Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7).

Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

      Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqf.htm

Площадь четырехугольника

Расчет площади четырехугольника с разными сторонами

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям.

В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними.

Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон.

Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу.

Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:
используем найденное значение для расчета площади:

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

Дан квадрат ABCD, расположенный в системе координат XY. Найти площадь фигуры, если координаты вершин A(2;10); B(10;8); C(8;0); D(0;2).

Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:
Найдем одну из сторон, к примеру, AB:
Подставим значения в формулу:
Знаем, что все стороны одинаковые. Подставляем значение в формулу расчета площади:

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом.

Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы

Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Возьмем на окружности с большим радиусом две произвольные точки. Проведем к ним радиусы, которые образуют угол α. Эти радиусы отсекут от окружностей некоторые дуги.

Фигура, заключенная между этими дугами окружностей и радиусами, проведенными к концам этих дуг, и будет сектор кольца, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью сектора круга с большим радиусом и площадью сектора круга с меньшим радиусом.

Площадь сектора круга с радиусом r выражается формулой:

где l–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:
Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
где L–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора.

Получим:

Тогда площадь кольца будет равна:

Таким образом, площадь сектора кольца равна произведению площади единичного сектора кольца, то есть сектору, соответствующему центральному углу с мерой равной единице на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.

Формула имеет вид:

Пример расчета площади сектора кольца, если известны его радиусы.Найдите площадь сектора кольца, образованного углом 30° , если его внешний радиус равен 14, а внутренний – 8.Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

Page 3

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения.

Построим вписанную в конус правильную n-угольную пирамиду и опишем вокруг данного конуса правильную n-угольную пирамиду.Вписанная пирамида содержится в конусе. Из этого следует, что ее объем не больше объема конуса.

Описанная пирамида содержит конус, а это значит, что ее объем не меньше объема конуса.

Впишем в основание вписанной пирамиды окружность.
Если радиус вписанного правильного n-угольника равен R, то радиус вписанной в него окружности будет равен:

Объем вписанной пирамиды вычисляется по формуле:

где S – основание пирамиды.
Площадь данного круга вычисляется по формуле: Площадь основания вписанной пирамиды не меньше площади круга, содержащегося в ней

Поэтому утверждение, что объем вписанной в конус пирамиды не меньше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий эту пирамиду будет больше или равен
V≥

Теперь опишем окружность вокруг основания описанной вокруг конуса пирамиды.
Радиус этой окружности будет равен:

Площадь данного круга вычисляется по формуле:
Основание описанной пирамиды содержится в круге описанном вокруг него. Поэтому площадь основания пирамиды не больше
Поэтому утверждение,что объем описанной пирамиды не больше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий в эту пирамиду будет меньше или равен

Два полученных неравенства равны при любом n.

Если то
Тогда из первого неравенства следует, что V≥
Из второго неравенства

Отсюда следует, что

Объем конуса равен одной трети произведения радиуса на высоту.

Пример расчета объема конусаНайти объем конуса, если его радиус основания равен 3 см, а образующая 5 см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора имеем:

Отсюда:

Подставим значение радиуса и высоты в формулу объема конуса.Имеем:

Page 4

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.

Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .

Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.

Из подобия этих конусов получаем:
Выразим x:

Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
Применив формулу разницы кубов, имеем:

Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

Пример расчета объема усеченного конусаРадиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относится к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: Так как образующая относится к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.

Тогда:

Тогда высота усеченного конуса будет равна:

Подставим значения в формулу объема усеченного конуса. Получим:

Page 5

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Page 6

У большинства детей младшего школьного возраста хорошо развита механическая память, которая задействуется при выучивании правил.

Но для отдельных детей, а особенно творческих личностей, зубрежка является невыносимой.

Родители, думающие, что их чадо не способно освоить изучение таблицы умножения и поэтому в дальнейшем будет отставать в математике, заблуждаются. На самом деле к нему нужен совершенно другой, особый подход.

Читать далее

Ниже представлена таблица степеней от 2 до 10 натуральных чисел от 1 до 20.
Читать далее

Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100
Читать далее

Таблица факториалов от 1 до 40
Читать далее

Page 7

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Источник: https://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-chetyrexugolnika/

Как найти площадь четырехугольника

Расчет площади четырехугольника с разными сторонами

При решении планиметрических заданий курса геометрии нередко встречается фигура с 4-мя сторонами. Да, речь идет о четырехугольнике.

Произвольный многоугольник с четырьмя углами встречается реже, чем его частные случаи, – трапеции, дельтоиды, параллелограммы. В последнюю «группу» входят также ромбы, прямоугольники, квадраты.

Рассмотрим, какие данные фигуры необходимо знать, чтобы рассчитать ее площадь.

Многоугольник произвольный

Для нахождения его площади вам потребуются диагонали фигуры, а также угол, полученный как результат их пересечения.

  • S = (d1*d2*sinα)/2,
  • d1, d2 – диагонали,
  • α – угол, полученный путем их пересечения.

Многоугольник в окружности

Если заданный четырехугольник помещен в окружность, известна длина сторон фигуры, то в определении площади многоугольника поможет соотношение:

S = √(p – m)(p – k)(p – l)(p – e), p = (m + k + l + e)/2.
m, k, l, e – его стороны.

2

Как найти площадь четырехугольника – трапеции

Данную фигуру отличает наличие параллельных 2-ух сторон. Чтобы определить площадь такого многоугольника воспользуйтесь такими параметрами:

  • Если известны величины параллельных сторон и перпендикуляра-высоты, проведенной к ним, площадь вычисляется с помощью выражения S = ((a + b)*h)/2,a и b – основания,

    h – перпендикуляр-высота.

  • Исходя из определения линии средины (k = (a + b)/2)), предыдущая формула приобретет следующий вид: S = k*h,k – линия средины.Известные диагонали трапеции и градусная мера угла, образованная в результате их пересечения, также помогут определить площадь фигуры: S = (d1*d2*sinβ)/2,d1, d2 – диагонали,

    β – угол, полученный путем их пересечения.

  • Заданы 4 стороны: S = ((m + l)√k2 – ((m – l)2 + k2– d2)2/(4(m – l)2))/2,m, l – стороны параллельные,

    k, d – стороны боковые.

3

Как найти площадь четырехугольника – дельтоида

Многоугольник-дельтоид характеризуется наличием 2-ух пар равных сторон. Вычислить площадь такого четырехугольника рассчитывается следующим образом:

  • Известны стороны фигуры и угол, образованный сторонами разной длины:S = m*l*sinϕ,m, l – стороны дельтоида,

    ϕ – угол между ними.

  • Известны стороны фигуры и углы, образованные сторонами равной длины:
    S = m2*sinα/2 + l2*sinβ/2,m, l – стороны дельтоида,

    α, β – углы между равными сторонами.

  • Наличие известных диагоналей также позволяет определить площадь фигуры:S = d1*d2/2,

    d1, d2 – диагонали дельтоида.

  • Если в фигуру вписана окружность, то знание ее радиуса позволяет вычислить площадь дельтоида: S = (m + l)*r,m, l – стороны дельтоида,

    r – радиус в случае вписанной окружности.

4

Как найти площадь четырехугольника – параллелограмма

Если выпуклый многоугольник имеет 2 пары непересекающихся сторон, то перед вами – параллелограмм.

Общее выражение

Для определения площади данного вида фигуры потребуются:

  • Сторона четырехугольника и высота, на нее опущенная: S = k*h(k),k – сторона фигуры,

    h(k) – высота к ней.

  • Длина двух сторон, имеющих одну вершину, и градусная мера угла при данной вершине:S = l*k*sinϕ,k, l – стороны многоугольника,

    ϕ – угол между ними.

  • Диагонали фигуры и угол, полученный как результат их пересечения: S = d1*d2*sinβ/2,d1, d2 – диагонали,

    β – угол – результат их пересечения.

Ромб

Данный четырехугольник – частный случай параллелограмма, имеющий 4 равные стороны. Поэтому выражения, справедливые для параллелограмма, верны и для него. Тогда

  • S = k*h(k),
    k – сторона фигуры, h(k) – высота к ней.
  • S = k2*sinϕ,
    k – сторона четырехугольника, ϕ – угол между сторонами.
  • S = d1*d2/2 (т.к. диагонали фигуры при пересечении образую прямой угол, а sin90° = 1),
    d1, d2 – диагонали многоугольника.

Прямоугольник

Такой многоугольник имеет 2 пары равных сторон, а градусная мера его углов – 90°. Для нахождения его площади справедливы следующие выражения:

  • S = k*l,
    k, l – стороны фигуры.
  • S = d2*sinβ/2,
    d – диагонали четырехугольника, β – угол – результат их пересечения.
  • S = 2R2*sinβ,
    R – радиус в случае описанной окружности.

Квадрат

В данном случае у соотношения, полученные на предыдущем этапе, приобретут следующий вид (т.к. стороны такого вида прямоугольника равны):

  • S = k2, k – сторона фигуры.
  • S = d2/2, d – диагональ квадрата.
  • S = 2R2, R – радиус в случае описанной окружности.
  • S = 4r4, r – радиус в случае вписанной окружности.

Источник: https://sovetclub.ru/kak-najti-ploshhad-chetyrehugolnika

О ваших правах
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: